Boundary Element Solutions For Some Different Temperature Distributions

Abstract

The aims of this study which has been organized into five chapters is devoted to study different temperature distributions in mechanics of homogeneous and inhomogeneous media. A boundary element method (BEM) is derived for solving the two-dimensional steady-state and non steady-state temperature distributions. To check its validity, the proposed method is applied to solve some specific problems with known exact solutions. And it important for the design of steam and gas turbines, jet motors, rockets, high speed aircraft, nuclear reactors .

In chapter one, we discussed the numerical technique used in the thesis, where we have studied general BEM procedure for solving partial differential equation in one-dimensional. Then we generalized the BEM for solving two dimensional problems. Also, we discussed heat conduction in an undeformable body and principles of a boundary element technique, in the end of this chapter, we discussed the collocation method for solving a system of equations for the determination of the unknown boundary values as in our thesis's problems.

In chapter two, A boundary element method is presented for the numerical solution of a problem involving steady state two-dimensional heat conduction in homogeneous media. To reduce the differential equations to a system of linear algebraic equations, the temperature can be determined at any desired point in the interior of the solution domain. Numerical results obtained by using the boundary element method agree quite well with the exact solutions.

In chapter three, A two-dimensional problem which requires determining the non-steady temperature distribution in a homogeneous media. It is solved numerically using a dual-reciprocity boundary element method. Numerical results are obtained for specific test problem agree well with the exact solution.

In chapter four, a dual-reciprocity boundary element method is proposed for solving the two-dimensional steady-state temperature distribution in non-homogeneous media. Numerical results are obtained for specific test problem agree well with the exact solution.

In chapter five, the boundary element method (BEM) is proposed for the numerical solution of the two-dimensional non steady-state temperature distribution in non-homogeneous media. The physical solution is recovered through the use of a numerical technique of dual-reciprocity BEM. Such a method of solution is used to solve a specific problem which has a known exact solution. The numerical results obtained agree well with the exact solution.

Then the present study concludes generally that the boundary element method is more suitable for study of different temperature distributions.

مستخلص البحث

تهدف هذه الرسالة الى ايجاد الحلول العددية لبعض التوزيعات الحرارية المختلفة في الأوساط متباينة الخواص في جميع الأتجاهات (Anisotropic)وذلك باستخدام طريقة عنصر الحد (Boundary Element Method) مقارنة مع الحل المضبوط وهذه التوزيعات ذات أهمية كبيرة في صناعة الطائرات والصواريخ والتوربينات (Turbines) والمحركات الحرارية (Heat Engines) والمفاعلات النووية (Nuclear Reactors). تضمن البحث خمسة فصول

كان الغرض من الفصل الأول هو دراسة أساسيات التكنيك العددي المستخدم في الرسالة وتم توضيح مخطط عام للتكنيك في بعد واحد (One-dimensional) بحيث يمكن تعميمه في بعدين (Two-dimensional) وكذلك تم اشتقاق معادلة التوصيل الحراري من خلال قانوني الديناميكا الحرارية لنتوصل للتوزيعات الحرارية التي تم تناولها في فصول الرسالة كما تم توضيح طريقة التجميع (Collocation Method) التي تستخدم من خلال تطبيق طريقة عنصر الحد (Boundary Element method) المستخدمة في حل التوزيعات الحرارية المختلفة والتي تم تناولها بفصول الرسالة.

أما الفصل الثاني تضمن دراسة توزيع حراري مستقر في الأجسام المتجانسة (Homogeneous) في بعدين (Two-dimensional)وتم ايجاد حل لهذا التوزيع باستخدام طريقة عنصر الحد والتي تتطلب فقط حد نطاق الحل لتجزئته واختزلت التوزيع الذي ندرسه الى مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية معاملاتها بسيطة في الشكل وسهلة الحساب لذا أمكننا تطبيقها بكفاءة على جهاز الحاسوب وكحالة خاصة امكن ايجاد قيم عددية لمثال محدد وتمت مقارنتها بالقيم المضبوطة ووجدنا انها تتفق جيدا معها.

تضمن الفصل الثالث دراسة توزيع حراري غير مستقر في الأجسام المتجانسة (Homogeneous) في بعدين (Two-dimensional)وتم ايجاد حل لهذا التوزيع باستخدام طريقة عنصر الحد والتي تتطلب فقط حد نطاق الحل لتجزئته واختزلت التوزيع الذي ندرسه الى مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية لا تتضمن مجاهيل عند النقاط الداخلية لنطاق الحل ومن ثم تم الحصول على قيم عددية للحرارة عند نقط مختلفة داخل نطاق الحل ووجدناها تتفق جيداً مع قيم الحل المضبوط .

وكان الغرض من الفصل الرابع هو دراسة توزيع حراري مستقر داخل وسط حراري غير متجانس Non-homogeneous)) في بعدين (Two-dimensional) وامكن الحصول على التدفق الحراري داخل الوسط باستخدام طريقة عنصر الحد تحت شروط حدية مناسبة ووجدنا ان الحل العددي يتفق مع الحل المضبوط.

وتم في الفصل الخامس دراسة توزيع حراري غير مستقر في بعدين في وسط حراري غير متجانس Non-homogeneous)) في بعدين (Two-dimensional)وطبقنا طريقة عنصر الحد تحت شروط حدية وابتدائية مناسبة وامكن الحصول على التوزيع الحراري داخل الوسط ووجدنا ان الحل العددي يتفق مع الحل المضبوط.

و نظرا لدقة النتائج التي حصلنا عليها بواسطة طريقة عنصـــر الحد (Boundary Element) والتي تتفق مع الحل المضــبوط فان طريقة عنصــر الحد هي أفضل الطرق العددية لحل مسائل التوزيعات الحرارية المختلفة (Temperature Distributions) حيث تتطلب فقط تجزئة الحد وذلك مقارنة بطريقة الفروق المحدودة (Finite Difference) وطريقة العنصر المحدود (Finite Element) واللتان يتطلبن تجزئة السطح ككل.